Борис Цариков родился 31 октября 1926 года в деревне Сосновка Гомельского уезда, в семье служащего. Его отец – Андрей Георгиевич работал в профсоюзе железнодорожников; мать – Елизавета Ефимовна была домохозяйкой. В начале 1930-х годов Цариковы переехали Гомель, где построили новый дом на улице 2-й Иногородней.
В 1934 году Борис пошёл в первый класс 2-й железнодорожной школы, затем учился в средней школе № 12. С 1938 по 1941 год он обучался в Русской неполной средней школе № 25 Железнодорожного района города Гомеля (ныне – Государственное учреждение образования «Средняя школа № 25 г. Гомеля»).
В конце сентября 1941 года семья Цариковых переехала в Ртищево. Проживали они по адресу: Сердобский тупик, дом № 153 (ныне снесён).
В декабре 1941 года на квартире у Цариковых стоял командир партизанской спецгруппы, полковник Василий Устинович Бойко (партизанское прозвище «Батя»). В Ртищево формировался партизанский отряд «Бати». Увеличив себе возраст на один год, Борис уговорил полковника Бойко взять его с собой на фронт.
28 февраля 1942 года группа «Бати» в количестве 55 человек перешла линию фронта в районе села Усвяты Витебской области. 7 марта того же года у деревни Смоловка Борис Цариков получил первое боевое крещение, 28 марта он участвовал в бою у деревни Плоты.
Весной-летом 1942 года партизан I отряда отдельной партизанской бригады Цариков провёл несколько диверсий на железной дороге. Так, с 10 по 12 мая было трижды подорвано железнодорожное полотно на участке Витебск – Богушевск; 29 мая на перегоне Богушевск – Орша был взорван воинский эшелон с авиабомбами. 8 июля на железнодорожной магистрали Минск – Москва, которая усиленно охранялась немецким командованием, в исключительно трудных условиях, требующих предельной выдержки и осторожности, Борис Цариков лично заминировал железнодорожный путь и пустил под откос воинский эшелон – 50 вагонов гружёных танками и боеприпасами. Цариков неоднократно минировал и подрывал автомашины на шоссе Витебск – Орша.
18 июля 1942 года командир отдельной партизанской бригады Бойко подписал наградной лист на предоставление Бориса Андреевича Царикова к награждению орденом Красного Знамени. 7 октября того же года был подписан приказ о награждении. Орден Борис Цариков получил в Кремле из рук М. И. Калинина. В тот же день он был принят в члены ВЛКСМ.
В первых числах октября 1942 года Борису был предоставлен кратковременный отпуск для поездки домой в Ртищево. В феврале 1943 года он был призван Ртищевским райвоенкоматом и направлен в 43-й Даурский стрелковый полк 106-й стрелковой дивизии, состоявшей из пограничников Дальнего Востока. В конце августа 1943 года дивизия вошла в состав 65-й армии Центрального фронта.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 30 октября 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом геройство и мужество красноармейцу Царикову Борису Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза/
13 ноября 1943 года в штаб, поступил приказ о том, чтобы откомандировать всех лиц рядового и сержантского состава, являющихся Героями Советского Союза, на учёбу в военные училища. По пути в штаб под селом Вышемир Речицкого района у Крутой рощи комсорг батальона Борис Андреевич Цариков был убит.
Похоронен в братской могиле советских воинов на центральной площади посёлка городского типа Лоев Гомельской области.
